Objetivo. El
estudiante conocerá y aplicará las principales transformaciones geométricas
sobre objetos en 2D y 3D.
Las
transformaciones geométricas básicas son la traslación, la rotación y la
escalación. La traslación mueve un objeto con una trayectoria en línea recta de
una posición a otra. La rotación mueve un objeto de una posición a otra a lo
largo de una trayectoria circular sobre un eje de rotación específico.
Cualquier
sistema de coordenadas que sea conveniente, referido al sistema de referencia
de coordenadas del mundo, se puede usar para definir la imagen. En el caso de
las imágenes bidimensionales, una vista se selecciona especificando una región
del plano xy que contiene la imagen total o cualquier parte de ella.
Las
partes dentro de las zonas seleccionadas se mapean entonces sobre zonas especificadas
de las coordenadas del dispositivo. Cuando se seleccionan múltiples zonas de
vista, estas zonas se pueden colocar en ubicaciones de visualización
independientes, o algunas zonas se podrían insertar en zonas de visualización
más grandes.
2.1. Transformaciones
bidimensionales Traslación
Convertimos
un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, tx y ty
a la posición de coordenadas original (x, y) para mover el
punto a una nueva posición (x’, y’).
2.1. x’ = x +
tx’ y’ = y + ty
El par de
distancia de traslación (tx’, ty) se llama vector de traslación o
vector de cambio.
Se pueden
expresar las ecuaciones anteriores en una sola ecuación matricial al utilizar vectores
de columna para representar las posiciones de coordenadas y el vector de
traslación:
2.2. P =[X1/X2], P' =[X '1/X '2] T =[Tx/Ty]
Esto nos
permite expresar las dos ecuaciones de traslación bidimensional en la forma de
matriz:
2.3. P' = P + T
en
ocasiones, las ecuaciones de transformación matricial se expresan en términos
de vectores de renglón de coordenadas en vez de vectores de columna. En este
caso, expresaríamos las representaciones matriciales como P[x y] y T[tx
ty].
La
traslación es una transformación de cuerpo rígido que mueve objetos sin deformarlos,
es decir, se traslada cada punto del objeto la misma distancia. Se traslada un segmento
de línea recta al aplicar la ecuación de transformación 2.3 en cada uno de los extremos de la línea
y se vuelve a trazar la línea entre las nuevas posiciones de los extremos.
Rotación
Los valores positivos
para el ángulo de rotación definen rotaciones en sentido opuesto a las
manecillas del reloj alrededor del punto pivote y los valores negativos giran
los objetos en la dirección del reloj . También es posible describir esta
transformación como una rotación sobre el eje de rotación que es perpendicular
al plano de xy y pasa a través del punto pivote.
En la figura 2.3, r
es la distancia entre constante del punto desde el origen, el ángulo ϕ es
la posición angular original del punto desde el plano horizontal y θ es
el ángulo de rotación. Utilizando identidades trigonométricas podemos expresar
las coordenadas transformadas en término de los ángulos θ y
ϕ como:
2.4. x ' = r cos(f+0
) = r cosf cos0- r sinf
sin0
y' = r sin(f+0
) = r cosf sin0- r sinf
cos0
Las coordenadas
originales del punto en las coordenadas polares son
2.5. x = r cosf,
y = r sin0
Al sustituir las
expresiones 2.5 en 2.6, obtenemos las ecuaciones de transformación para girar
un punto en la posición (x, y) s través de un ángulo θ al
rededor de un origen:
2.6. x ' = x cos0
- ysin0
y = x sin0 + y
cos0
Con las representaciones del vector de
columna 2.2 para las posiciones de coordenadas podemos expresar las ecuaciones
de rotación en la forma de matriz:
2.7. P' = R·P
donde la matriz de rotación es:
2.8. R = cos0 -sin0
Sin0 cos0
Cuando las posiciones
de coordenadas se representan como vectores de renglón en vez de vectores de
columna, el producto de la matriz en la ecuación de rotación 2.7 se transpone,
de modo que el vector de coordenadas de renglón transformado [x’ y’] se calcula
como
P'T = (R·P)T = PT ·RT
donde PT = [x y] y se obtiene
la transposición RT de la matriz R con sólo cambiar el signo de
los términos del seno.
Escalación
Una
transformación de escalación altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar
esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x,
y) de cada vértice por los factores de escalación sx y sy para
producir las coordenadas transformadas (x’, y’):
2.10. x ' = x·sx
, y' = y·sy
El factor de
escalación sx escala objetos en la dirección de x mientras que el
factor de escalación sy lo hace en dirección de y. También se
pueden expresar las ecuaciones de transformación 2.10 en forma matricial:
2.11. x ' sx
0 .x
y´ 0 sy
y
2.12. P' = S·P
donde S es la
matriz de escalación 2 por 2 en la ecuación 2.11.
2.2. Coordenadas
homogéneas y representación matricial
En este
tema consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de la
matriz de modo que se pueden procesar de manera eficiente esas secuencias de
transformación. Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en
la forma de matriz general con las posiciones de coordenadas P y P’
representadas como columnas de vector.
2.15. P' = M1·P
+ M2
La matriz
M1 es una matriz de 2 por 2 que contiene factores de multiplicación y M2
es una matriz de columnas de dos elementos que contiene términos de
traslación. Para la traslación, M1 es la matriz de identidad. Para la
rotación o la escalación M2 contiene los términos de traslación
asociados con el punto pivote o el punto fijo de escalación.
Un planteamiento más
eficiente combinaría las transformaciones de manera que se obtengan las
coordenadas finales directamente a partir de las coordenadas iniciales para eliminar
el cálculo de coordenadas intermedias. De esta manera, se debe de formular nuevamente
la ecuación 2.15 para eliminar la adición de la matriz asociada con los
términos de la traslación M2.
Para expresar
cualquier transformación bidimensional como una multiplicación de matriz,
representamos cada posición de coordenadas cartesianas (x, y) con las
tres coordenadas homogéneas (xh, yh, h), donde
2.16. x = xh / h, y = yh / h
Por tanto, una
representación general de coordenadas homogéneas se puede expresar también como
(h·x, h·y, h). Para transformaciones geométricas bidimensionales, seleccionamos
el parámetro homogéneo h como cualquier valor no cero. Así, existe un número
finito de representaciones homogéneas equivalentes para cada punto de coordenadas
(x, y).
Una opción
conveniente consiste en sólo establecer h = 1. Entonces, se representa cada
posición bidimensional con las coordenadas homogéneas (x, y, 1). Se
requieren otros valores para el parámetro h, por ejemplo, en las
formulaciones de matriz de transformaciones de vista tridimensionales.
2.3. Composición de
transformaciones bidimensionales
Con las
representaciones de matriz del tema anterior, podemos establecer una matriz para
cualquier secuencia de transformaciones como una matriz de transformación compuesta
al calcular el producto de la matriz de las transformaciones individuales. La creación
de productos de matrices de transformación a menudo se conoce como concatenación
o composición de matrices.
Traslaciones, rotaciones y
escalaciones
Traslaciones
Se se
aplican dos vectores de traslación sucesivos (tx1, ty1) y (tx2, ty2)
en la posición de coordenadas P, la localización transformada final P, la
localización transformada final P’ se calcula como:
2.23. P' = T (tx2, ty2 )·{T (tx1, ty1)·P} = T (tx2 , ty2 )·T (tx1, ty1{ )}·P
donde se
representan P y P’ como vectores de columna de coordenadas homogéneas.
Podemos
verificar este resultado al calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones
asociativas. Asimismo, la matriz de transformación compuesta para esta secuencia
de transformaciones es
2.25. T (tx2 , ty2 )·T (tx1, ty1) = T (tx1 + tx2 , ty1 + ty2 )
que
demuestra que dos transformaciones sucesivas son aditivas.
Rotaciones
Dos
rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la posición
transformada
2.26. P' = R(θ2 )· R(θ1{ )·P} = R(θ2 { )·R(θ1)}·P
Al
multiplicar las dos matrices de rotación, podemos verificar que dos rotaciones
sucesivas son aditivas:
2.27. R(02 )·R(01)
= R(01 +02 )
de modo que es
posible calcular las coordenadas giradas finales con la matriz de rotación
compuesta como
2.28. P' = R(01
+02 )·P
Escalaciones
Concatenar matrices
de transformación para dos operaciones de escalación sucesivas produce la
siguiente matriz de escalación compuesta:
2.30. S(sx2 , sy2 )·S(sx1, sy1)
= S(sx1·sx2 , sy1·sy2 )
La matriz resultante
en este caso indica que las operaciones de escalación sucesivas son
multiplicativas. Es decir, si debiéramos triplicar el tamaño de un objeto dos
veces en una sucesión, el tamaño final sería nueve veces el tamaño original.
Rotación del punto pivote general
Con un
paquete gráfico que sólo ofrezca una función de rotación para girar objetos
con
respecto del origen de las coordenadas, podemos generar casi cualquier punto
pivote seleccionado (xr, yr) al realizar la siguiente secuencia de
operaciones de traslación-rotacióntraslación:
1.
Traslade el objeto de modo que se mueva la posición del punto pivote al origen de
las coordenadas.
2. Gire
el objeto con respecto del origen de las coordenadas.
3. Traslade el objeto
de manera que se regrese el punto pivote a su posición original.
Escalación del punto fijo general
La
siguiente figura ilustra una secuencia de transformación para producir
escalación con respecto de una posición fija seleccionada (xf, yf) al
utilizar una función de escalación que sólo puede escalar en relación con el
origen de las coordenadas.
1. Traslade el objeto
de modo que el punto fijo coincida con el origen de las coordenadas.
2. Escale el objeto
con respecto del origen de las coordenadas
3. Utilice la
traslación inversa del paso 1 para regresar el objeto a su posición original.
La concatenación de
las matrices para estas res operaciones produce la matriz de escalación
requerida
2.34. T (xf , yf )·S(sx
, sy )·T (−xf ,−yf ) = S(xf , yf
, sx , sy )
Propiedades de concatenación
La
multiplicación de matrices es asociativa. Para tres matrices cualesquiera A, B
y C, el producto matricial A·B·C se puede lelvar a cabo al multiplicar primero
a por B o multiplicar primero B por C:
2.35. A·B·C
= (A·B)·C = A·(B·C)
En general
el producto matricial A·B no es igual que B·A. Esto significa queremos
trasladar y girar un objeto, debemos tener cuidado sobre el sentido en que se
evalúa la matriz compuesta.
2.4. Transformación
ventana-área de vista
Algunos
paquetes gráficos permiten que el programador especifique coordenadas de primitivas
de salida en un sistema de coordenadas de mundo de punto flotante, usando las unidades que sean
relevantes para el programa de aplicación: angstroms, micras, metros, millas,
años luz, etcétera. Se emplea el término de mundo porque el programa de
aplicación representa un mundo que se crea o presenta interactivamente para el
usuario:
Como las primitivas
de salida se expresan en coordenadas de mundo, hay que indicar al paquete de
subrutinas gráficas cómo establecer la correspondencia entre las coordenadas de
mundo y las coordenadas de pantalla.
Otra forma es que el
programador de la aplicación especifique una región rectangular en coordenadas
de mundo, llamada ventana de coordenadas mundiales y una región rectangular correspondiente
en coordenadas de pantalla, llamada área de vista, con la cual se establece la
correspondencia de la ventana de coordenadas mundiales.
La modificadora
coordenada de mundo se emplea con ventana para subrayar que no se trata de una
ventana de administrador de ventanas, un concepto distinto y más reciente que
por desgracia tiene el mismo nombre. Este modificador se omitirá cuando no
exista ninguna ambigüedad con respecto al tipo de ventana que se trate.
2.5.
Transformaciones de composición general y de eficiencia computacional
Una transformación
bidimensional general, que representa una combinación de traslaciones,
rotaciones y escalaciones.
Los elementos trsx y
trsy son los términos de traslación que contienen combinaciones de distancias
de traslación, coordenadas de punto pivote y de punto fijo, así como de ángulos
de rotación y parámetros de escalación.
Por ejemplo, si debe
escalar, girar un objeto con respecto de las coordenadas de su centroide (xc,
yc) y después trasladarlo, los valores para los elementos de la matriz de transformación
compuesta son
T (tx , ty )·R(xc , yc ,è )·S(xc , yc, sx , sy ) =
sx cos0 -sx sin0 xc (1- sx cos0 ) + ycsy sin0 ) + tx
sx sin0 -sy cos0 yc (1- sy cos0 ) + xcsx sin0 ) + ty
0
0 1
Aunque la ecuación de
matriz 2.35 requiere nueve multiplicaciones y seis adiciones, los cálculos
explícitos para las coordenadas transformadas son 2.40.
x ' = x·rsxx + y·rsxy + trsx ,
y' = x·rsyx + y·rsyy + trsy
Así, en realidad solo
necesitamos efectuar cuatro multiplicaciones y cuatro adiciones para
transformar las posiciones de las coordenadas. Este es el número máximo de cálculos
que se requieren para cualquier secuencia de transformación, una vez que se han
concatenado las matrices individuales y evaluadas los elementos de la matriz
compuesta.
.
2.6.
Representación matricial de transformaciones tridimensionales
Así como las
transformaciones bidimensionales se pueden representar con matrices de 3 X 3
usando coordenadas homogéneas, las transformaciones tridimensionales se pueden representar
con matrices de 4 X 4, siempre y cuando usemos representaciones de coordenadas
homogéneas de los puntos en el espacio tridimensional. Así, en lugar de representar
un punto como (x, y, z), lo hacemos como (x, y, z, W), donde dos de estos cuádruplos
representan el mismo punto si uno es un multiplicador distinto de cero del
otro: no se permite el cuádruplo (0, 0, 0, 0). Como sucede en el espacio
bidimensional, la representación estándar de un punto (x, y, z, W) con W ≠ 0 se
indica (x/W, y/W, z/W, 1).
El sistema de
coordenadas tridimensionales que se usará en los siguientes ejemplos es de mano
derecha como se ilustra en la figura 2.16- Por convención las rotaciones
positivas en el sistema de mano derecha son tales que, al ver hacia un eje
positivo desde el origen, una rotación de 90° en sentido contrario al giro de
las manecillas del reloj transformará un eje positivo en otro.
Se usa el sistema de
mano derecha porque se trata de una convención matemática estándar, aunque en
la graficación tridimensional es conveniente pensar en un sistema de mano
izquierda sobrepuesto en la pantalla (fig. 2.17), ya que un sistema de mano
izquierda da la interpretación natural de que los valores mayores de z se
encuentran más lejos del observador.
2.7. Composición de
transformaciones tridimensionales
El objetivo es transformar
los segmentos de línea dirigida P1P2 y P1P3 en la figura 2.18 de su posición
inicial en la parte (a) a su posición final en la parte (b). De esta manera, el
punto P1 se trasladará al origen P1P2 quedará en el eje positivo y P1P3 quedará
en la mitad del eje positivo del plano (x, y). Las longitudes de las líneas no
se verán afectadas por la transformación.
El primer método es componer
las transformaciones primitivas T, Rx, Ry y Rz. Este método, aunque es algo tedioso,
es fácil de ilustrar y su comprensión nos ayudará en nuestro conocimiento de
las transformaciones. El segundo método, que utiliza las propiedades de las
matrices ortogonales especiales que se analiza en la sección anterior, se explica
de manera más breve pero es más abstracto.
Para trabajar con las
transformaciones primitivas, de nuevo dividimos un problema difícil en varios
más sencillos. En este caso, la transformación deseada se puede llevar a cabo
en cuatro pasos:
1. Traslación de P1
al origen.
2. Rotación sobre el
eje y para que P1P2 esté en el plano (y, z).
3. Rotación sobre el
eje x para que P1P2 esté en el eje z.
4. Rotación sobre el
eje z para que P1P3 esté en el plano (y, z).
Paso 1: Traslación P1 al
origen. La traslación es
2.59. T (-x1,-y1,-z1) =
1 0 0 -x1
0 1 0 -y1
0 0 1 -z1
0 0 0 1
Al aplicar T a P1, P2 y P3
se obtiene
2.60. P'1 = T (-x1,-y1,-z1).P1 =
0
0
0
1
Conceptos
para glosario de términos de la unidad
Coordenadas Homogéneas
En
matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas
homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio
proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand
Möbius en el año 1837.
También
pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el
espacio euclídeo, pues éste puede verse como un subconjunto del espacio
proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en
infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación
en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como
OpenGL y Direct3D.
En
coordenadas homogéneas, todo punto bidimensional está definido por tres
coordenadas. De tal modo que un punto de dimensiones x, y, se lo representa por
la terna: x / w, y / w, w.
Matemáticamente,
las coordenadas x y y se hallan dividiendo los dos primeros números entre el
tercero, respectivamente.
En
dos dimensiones, su valor se puede encontrar más fácilmente si w = 1, por
simplificación. En tres dimensiones, suele ocurrir lo mismo w = 1.
Básicamente,
se trata de ampliar el plano euclídeo (en el caso bidimensional) al plano
proyectivo, es decir, incluirle los puntos impropios o del infinito.
Así,
un punto impropio es aquel donde w = 0.
Una
consecuencia de esta escritura es que un punto propio tiene infinitas formas de
escribirlo, todo dependerá de los cocientes x / w y y / w (con w distinto de
0).
pila
o stack( en programación)
Una
pila (stack en inglés) es una lista ordinal o estructura de datos en la que el
modo de acceso a sus elementos es de tipo LIFO (del inglés Last In First Out,
último en entrar, primero en salir) que permite almacenar y recuperar datos.
Esta estructura se aplica en multitud de ocasiones en el área de informática
debido a su simplicidad y ordenación implícita de la propia estructura.
Para
el manejo de los datos se cuenta con dos operaciones básicas: apilar (push),
que coloca un objeto en la pila, y su operación inversa, retirar (o desapilar,
pop), que retira el último elemento apilado.
En
cada momento sólo se tiene acceso a la parte superior de la pila, es decir, al
último objeto apilado (denominado TOS, Top of Stacken inglés). La operación
retirar permite la obtención de este elemento, que es retirado de la pila
permitiendo el acceso al siguiente (apilado con anterioridad), que pasa a ser
el nuevo TOS.
Por
analogía con objetos cotidianos, una operación apilar equivaldría a colocar un
plato sobre una pila de platos, y una operación retirara retirarlo.
Las
pilas suelen emplearse en los siguientes contextos:
Evaluación de expresiones en notación
postfija (notación polaca inversa).
Reconocedores sintácticos de lenguajes
independientes del contexto
Implementación de recursividad.
Fuentes de información
es
transformado por la multiplicación de dos factores de escalamiento: 
a
lo largo de los ejes 
respectivamente. De esta forma, las
coordenadas del nuevo punto 
se
obtienen como:
